愛因斯坦與畢達哥拉斯定理

愛因斯坦與畢達哥拉斯定理

王伯年 宋利敏 史兆申（上海理工大學，上海 200093）

 

 

 

 

[摘要] 基於對可靠而原始的愛因斯坦傳記材料、愛因斯坦的《自述》和歐幾里得《幾何原本》的分析，可以證實愛因斯坦12歲時曾獨立地得出了畢達哥拉斯定理的一種證明，而且這是為數眾多證法中最為簡單和最好的。然而，這不是創新的，因為《幾何原本》中就有了這一證法。愛因斯坦天賦的好奇心、敏銳的理性思維、勤奮的鑽研精神和啟蒙者對他的教育是這一奇蹟發生的必要條件。
 2004年6月，聯合國第58次會議決定：2005年為世界物理年。用一門科學命名世界年，這是聯合國歷史上還是第一次，這是為了紀念1905年愛因斯坦奇蹟般地發表劃時代意義的5篇學術論文100週年，同時也是紀念這位20世紀最偉大的物理學家逝世50週年。愛因斯坦不是一位數學家，而是一位理論物理學家。他將當時處於創建階段的張量分析用於廣義相對論，不但為這種理論找到了有效的數學工具，並對推動和完善張量分析在數學中的發展起到了重要的作用。此外，愛因斯坦還在愛因斯坦求和約定和愛因斯坦張量等方面對數學作出了直接的貢獻。本文不研究愛因斯坦與張量分析的關係，而研究數學中一條十分重要的定理—畢達哥拉斯定理（以下簡稱為畢氏定理）與愛因斯坦的關係，這與他在12歲時是否創新地得到了該定理的證明有關。

一些重要的說法

1.1 1921年Moszkowski的說法

Alexander Moszkowski（1851-1934）是與愛因斯坦早年有密切交往的柏林文藝批評家，他從1919年夏季至1920年秋季曾與愛因斯坦作了一系列的對話，隨即出版了有關愛因斯坦第一本傳記的英文本和德文本，此書英文本於1972年再版，書名改為《與愛因斯坦的對話》。顯然，該書初版內容是得到愛因斯坦認可的。其中有愛因斯坦與畢氏定理關係的首次較為詳細的報導，Moszkowski寫道：“有一次雅可比叔叔向愛因斯坦講了畢氏定理的內容，而未講任何證明。他的侄兒理解所涉及的關係，並感到可基於一種理由而推導出來。……這個小孩在三個星期中用其全部的思維力量去證明這一定理。他專注到三角形的相似性（從直角三角形的一個頂點向斜邊作垂線）得到了一個證明。為此，他長時間的激動！這雖然僅涉及到一個非常古老的著名定理，他卻經歷了發現者首次的快樂。”

1.2 1924年Maja Einstein的說法

愛因斯坦的妹妹Maja Einstein（1818-1951）在1924年2月15日寫成了《阿爾伯特•愛因斯坦——為他的生平事略而作》一文，但一直未公開發表。由於此文的重要性，《愛因斯坦全集》的編者於1986年將此文的部分內容載於全集第一卷正文之前，此文涉及到愛因斯坦12歲時證明畢氏定理的內容。

對於愛因斯坦學習幾何，Maja 在文中寫道：“他不是從書中得知它們的證明，而是企圖自己來證明它們。”又說：“阿爾伯特總是找到了正確的證明，甚至還發現證明畢達哥拉斯定理的一個嶄新的方法。獲得這樣的結果，這個孩子感到莫大的幸福，這時他自己已經意識到他的才能指點他的道路。”這段話清楚表明作者認為愛因斯坦曾給出畢氏定理一個嶄新的證明，而且這段經歷對愛因斯坦以後從事科學研究有重大影響。此外，全集的編者還對此事加註說：“根據這篇文章（指愛因斯坦的《自述》）中的敘述和Moszkowski書中第222-223頁的內容，就可以重建他的證明。 ”這說明全集編者認同Maja的說法，並向讀者提供了證實這一說法的參考文獻。

1.3 1930年Anton Reiser 的說法

Anton Reiser（1889-1964）是Rudolph Kayser 的筆名，他是一位德語專家，1924年與愛因斯坦的繼女結婚，1930年發表了《愛因斯坦傳》一書。此書曾得到過愛因斯坦充分的認可，他為該書曾寫了一段話，其中有一句為：“我感到這本書從頭到尾講的事都是相當確鑿的。”Reiser 對愛因斯坦證明畢氏定理的事寫道：“他的叔叔向他講了畢氏定理，只講了內容，而未講證明。這個孩子的雄心大志是不借助現有的最少的幾何知識，去發現他自己的證明。奇蹟終於發生了……，他獨立地成功證明了歐幾里得幾何的關鍵定理。……當Spieker的幾何書到了他手裡時，除了2到3道難題外，他迅速成功地解答了所有的習題。”

1.4 1932年Talmey的說法

Max Talmey（1869-1941）是愛因斯坦10歲到15歲時與之密切相處，並對愛因斯坦給予良好教育的人，1932年發表了 ，並在中有著愛因斯坦少年時學習數學的生動描述。他寫道：“我給他Spieker的幾何學教科書自學。每週我慣常去他家一次，他總是很高興給我看他上週解出的新習題。開始時，我幫助他解難題， ……，過了不久，幾個月，他已經把Spieker整本書都學完了。……不久，他的數學天才飛得那麼高，我不再能跟得上了。”Talmey所述內容中，並未提及愛因斯坦證明畢氏定理一事。

愛因斯坦本人的說法

應PA Schilpp的請​​求，愛因斯坦在1946年寫了《自述》一文，“向共同奮鬥著的人們講一講一個人自己努力和探索過的事情”。此文首先發表在中，中文譯文見。愛因斯坦在此文中寫道：“在12歲時，……有位叔叔曾經把畢達哥拉斯定理告訴了我。經過艱鉅的努力以後，我根據三角形相似性成功地'證明了'這條定理；在這樣做的時候，我覺得，直角三角形各個邊的關係'顯然'完全決定於它的一個銳角。在我看來，只有在類似方式中不是表現得很'顯然'的東西，才需要證明。”值得注意的是：愛因斯坦在'證明了'上面打了引號，這意味了這樣的'證明了'，是有限定意義的。

愛因斯坦對質疑的答复

1953年3月14日在愛因斯坦74歲生日宴會之前，舉行了一個簡短的記者招待會，他收到了一份書面的問題單，其中第一個問題就涉及在他12歲證明畢氏定理的事，愛因斯坦對此作了明確的回答。第一個問題是：“據說你在5歲時由於一隻指南針，12歲時由於一本歐幾里得幾何學而受到決定性的影響。這些東西對你一生的工作果真有過影響嗎？”愛因斯坦回答：“我自己是這樣想的。我相信這些外界的影響對我的發展確是有重大影響的。但是人們很少洞察到他自己內心所發生的事情。當一隻小狗第一次看到指南針時，它可能沒有類似的影響，對許多小孩子也是如此。事實上決定一個人的特殊反應的究竟是什麼呢？在這個問題上，人們可以設想各種或多或少能夠行得通的理論，但是決不會找到真正的答案。”由此可見，在愛因斯坦逝世前一年，他仍然充分肯定他少年證明畢氏定理之事對他一生重大的影響。

 

愛因斯坦的證明方法

至今未見到愛因斯坦12歲時對畢氏定理證明的詳細內容，但是按照上述材料，不難正確地推論出他的方法如下所示。

下圖,專注到三角形的相似性，從直角三角形的一個頂點向斜邊作垂線，設交點為D。兩直角三角形的相似，完全取決於它們的一個銳角，如果有一銳角相等，二者相似；否則，不相似。

 

 

 

圖中△ABC、△DBC、△DCA彼此是相似的，因為它們有一銳角是相等的。△ABC與△DBC因相似，二者的兩對應邊長之比相等，即

c/a=a/e ⇒ ec=a^2 （1）

對△ABC與△ACD，同理有

c/b=b/f ⇒ fc=b^2 （2）

（1）+（2），得到：

ec+fc = (e+f)c = c^2= a^2+b^2 （3）

上式就是畢達哥拉斯定理的內容。

由上可知：基於對直角三角形的斜邊作垂直，構成兩個與原直角三角形相似的直角三角形，再利用兩相似三角形的對應的邊長之比相等，即可導出畢氏定理。據作者的分析與研究，這種證明是現有約300種畢氏定理證法中最為簡單的：僅需作一條輔助線和僅需三步推理運算，即可推導出畢氏定理。因此，這種證法是最好的。

愛因斯坦的證明是創新的嗎？

仔細閱讀歐幾里得的《幾何原本》就會得知，在這本劃時代的經典著作中，對畢氏定理不僅提出了人們所熟悉的在直角三角形的三條邊上，向外分別作三個正方形的比較繁的證法，而且還有另外的基於相似三角形相似特性的證法，其內容與圖1所示的方法完全相同，僅是敘述較繁，而且把內容置於第Ⅵ卷命題8和命題31之中，並表達為：“在直角三角形中，對直角的邊上所作圖形（的面積）等於夾直角邊上所作與前圖形相似且有相似位置的兩圖形（的面積）的和。”

 

 

愛因斯坦知道《幾何原本》中上述證法嗎？他12歲時，不會知道。因為對於一個12歲的小孩，通常是不會去查閱2000多年前的經典文獻。在愛因斯坦成人，尤其是成名之後，他有可能會閱讀《幾何原本》，也有可能會讀到《幾何原本》中關於畢氏定理的基於相似三角形特性的證法。因此，與愛因斯坦深談過的Moszkowski寫他'證明了這一定理'，愛因斯坦的女婿Reiser寫他'獨立地成功證明了歐幾里得幾何的關鍵定理'，愛因斯坦少年時期的教導者、有著良好的科學素養的Max Talmey根本就沒有突出愛因斯坦與畢氏理論的關係，以及愛因斯坦本人在'證明了'這條定理的證明了上面打上引號，所有這些說法都是可以理解了！至於愛因斯坦的妹妹Maja說她哥哥“發現證明畢達哥拉斯定理的一個嶄新的方法”之不確切，只能歸因於她缺乏科學背景的原因。 《愛因斯坦全集》編者認同Maja對此的附註，也只能歸因他們未曾對畢氏定理的種種證法作過深入的分析與研究。

結論

(1)愛因斯坦12歲時，在未學過平面幾何的情況下，曾基於三角形的相似特性，獨立地給出了畢氏定理的一個證法，而且這一證法是畢氏定理中最簡單和最好的證法。(2)愛因斯坦這一證法並不是創新的或嶄新的，因為在公元前的歐幾里得《幾何原本》中，已經有了這種證法。(3)愛因斯坦之所以在12歲時完成了常人無法達到的成果，是由於他天賦的好奇心、敏銳的理性思維、刻苦的鑽研精神以及啟蒙者對他諄諄教導的結果。(4)經典著作，如《幾何原本》等是無價的知識寶庫。對於研究者而言，深入鑽研經典著作是必不可忽缺的。