2013年4月14日 星期日

三次數學危機

第一次數學危機
  

  
歷史背景



畢達哥拉斯(約公元前580年—公元前300年)是一位古希臘的數學家及哲學家,他曾有一句名言「凡物皆數」,意思是萬物的本原是數,數的規律統治萬物。不過要注意的是,在那個年代,他們相信一切數字皆可以表達為整數或整數之比——分數,簡單而言,他們所認識的只是「有理數」。

有趣的有理數
 
當時的人只有「有理數」的觀念是絕不奇怪的。對於整數,在數線上我們可以知道是一點點分散的,而且點與點之間的距離是一,那就是說,整數不能完全填滿整條數線,但有理數則不同了,我們發現任何兩個有理數之間,必定有另一個有理數存在,例如:1與2之間有1/2,1與1/2之間有1/4等,因此令人很容易以為「有理數」可以完全填滿整條數線,「有理數」就是等於一切數,可惜這個想法是錯的,因為……

畢氏定理、畢氏鐵拳
 
偉大的時刻來臨了,畢達哥拉斯發現了現時眾所周知的畢氏定理(其實中國於公元前一千一百年已有此定理),從這個定理中,畢達哥拉斯發現了一件不可思議的事,就是腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長度,竟然是一個無法寫成為有理數的數。亦即是說有理數並非一切數,存在有理數以外的數,有理數不可以完全填滿整條數線,他們心中的信念完完全全被破壞了,他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在當時的數學界來說,是一個極大的震撼,也是歷史上的「第一次數學危機」。

新的一頁
 
原來「第一次數學危機」是「無理數」的發現,不過它還說出了「有理數」的不完備性,亦即有理數不可以完全填滿整條數線,在有理數之間還有「罅隙」,無疑這些都是可被證明的事實,是不能否定的。面對著事實,數學家展開廣​​闊的胸襟,把「無理數」引入數學的大家庭,令數學更豐富更完備,加添了無理數,數線終於被填滿了。不過,第二次數學危機又將要來臨了!




第二次數學危機

 
「飛矢不動」的弔詭
 
古代的希臘是研究哲學的人聚集的地方,在云云的哲學學派之中,其中一派主張「存在是靜止的,不變的,永恆的,變化與運動只是幻覺。」至於這個主張的理念,不是我們的討論範圍,不過,這個學派的學者之一——芝諾,為了論證運動是幻象,提出了「飛矢不動」的「理論」:箭在每一瞬間都要佔據一定的空間位置,即箭在每一瞬間存在,即箭在每一瞬間都是靜止的,又怎可能動呢?

數學——打破弔詭的武器
 
當然我們完全明白「飛矢不動」是一個歪論,但數學是一個講究嚴謹的學科,數學家們要從問題的核心「動」作為開始,要證明「飛矢必動」。所謂動是指有速率,而速率便是所走的路程和所用的時間的比,換句話說,要證明箭在每一瞬間都是動即,要證明箭在每一瞬間都有速率,但這是一個難題,因為如何找出每一瞬間的速率呢?

無堅不摧——微積分
 
要解決每一瞬間的速率(以下稱瞬時速度)的問題,偉大的數學家和物理學家——牛頓(Newton),發現了一件無堅不摧的武器——微積分,其中微分便正好可以計算出物體的瞬時速度。這個發現震驚了整個數學界和物理學界,而且除了瞬時速度,微積分更在不同方面有廣泛的應用,並得到了瞬速的發展。不過,好境不常…

既不是零又不是非零?
 
因為微積分必須要考慮所謂「無窮小量」的問題,所謂「無窮小量」是指一個「非零而又極接近零的量」,而所謂「極接近零」是指這個量「與零之間不容許有任何空間和距離」,換句話說,「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量,那麼,「無窮小量」是零嗎?如果解不到這個問題,所謂無堅不摧的微積分,便無立足之地,一切由微積分所得出來的完美的數學和物理學上的結果也付諸流水,所以數學史上稱之為「第二次數學危機」。

化危為機
 
數學是講究嚴謹的學科,數學家必不逃避問題,面對困難,接受挑戰,是數學家的不朽格言。另一位偉大的數學家柯西(Cauchy),重新建立微積分學的基礎——數學分析。數學分析是透過一套嚴格的「數學語言——ε-語言」來說明甚麼是變量、無窮小和極限等的概念和定義,解決了甚麼是既不是零又不是非零的問題,而這次的危機亦安然渡過,並為數學的大家庭增添了一位成員「數學分析」,也提醒了數學家們要繼續要求嚴格,不可鬆懈。不過,第三次數學危機將要置數學於死地!


第三次數學危機

 
一個有趣的故事
 
在村有一位手藝高超的理髮師,他只給村上一切不給自己刮臉的人刮臉,那麼,他給不給自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉,他是個不給自己刮臉的人,他應當給自己刮臉;如果他給自己刮臉,由於他只給不給自己刮臉的人刮臉,他就不應當給自己刮臉了。他應該如何呢?

數學和哲學界的巨匠——羅素
 
以上的故事就是著名的「羅素悖論」。羅素(Russell)是英國著名的哲學家和數學家,曾獲得諾貝爾文學獎金。他想把算術系統全歸結於邏輯,所以他與懷海德合作寫的一本巨著《數學原理》。

理髮師的威力
 
羅素的悖論確是給當時正為了微積分的嚴格基礎被建立而歡欣鼓舞的數學家們潑了一盆冷水,但這個理髮師的力量有多大,竟然可以推倒數學大廈呢?在較高等的數學裡,我們會把整個數學的基礎納入「集合論」之中,換句話說,集合論便是數學大廈的基石,所以當集合論中出現矛盾時,建基於此之上的數學大廈也會站不住腳,而羅素的悖論卻是向著這個基石作出致命的一擊,這個「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」的矛盾是在集合論中的矛盾,也就是在數學基礎中的矛盾,只要矛盾一日存在,數學大廈也不可穩固,更會在倒塌的危機,這個也是數學的第三次危機。

解鈴還須繫鈴人?
 
羅素雖然提出了問題,成為危機的製造者,但同時也是危機的解決者,羅素在他的著作之中提出了層次的理論以解決這個矛盾,使得「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」不可能出現。不過,這個層次理論十分複雜,所以數學家要把這個方法加以簡化,而先提出的人是策墨羅,他提出了「有限抽象原則」和幾條公理,及後再由弗蘭克和斯柯倫的補充修改,仍成現在在數學上較為流行公理系統——「ZFS公理系統」。這樣不單只解決了羅素的悖論,令數學從回到嚴緊和無矛盾的領域,而且更促使一門新的數學分支——「數學基礎」有著迅速的發展。

數學危機的啟示

在這三次的數學危機中,我們可以看到數學的發展跟面對問題和正視困難是離不開的,透過克服一次又一次的困難而得到「成長」和完善,越是不怕艱辛,收穫便越大。第一次數學危機使人類突破有理數的局限;第二次數學危機從提數學的嚴緊性和誕生了新的數學分支;第三次數學危機警醒人除了發展各式各樣不同的分支以外,還得回看數學的根基本身,使數學邁向更完備。然而,成功並非一朝一夕,必須經歷無數的挫折和失敗,傷心和失望滿佈成功的路上,但只要不放棄,成功依然是可以達到的。另一方面是要從危機中的學習,學習如何應付之馀,還要學習如何避免再次陷入危機之中。

2013年4月13日 星期六

從畢氏定理到相對論

畢達哥拉斯定理
 
“直角三角形的兩個直角邊的平方和等於斜邊的平方。"
 
研究的問題
 
一束光射向一面鏡子再返回到出發點的路程上所用的時間。前提條件:光在空間運動速度雖然很快(每秒30萬千米)但它有限;並且這個速度是個“恆常數”,和光源的運動無關。記做c。這是個“實驗結果”。

這一往返要花的時間

t=2D/c(t:時間,D:人到鏡子距離,c:光速)

現在我們考慮,觀察者以v速度運動,鏡子和我們計時的時鐘都靜止不動,那麼光線所走的路程記作:2M


那麼,所花的時間就不同了

T=2M/c

我們把一個計時鐘放在發光點處,另一個放在接收點處。那麼,這兩個計時鐘的距離就是L=vT (L兩時鐘距離,v觀測者運動速度,T光線運動時間,也是人運動時間。)

根據畢達哥拉斯定理:
 

那麼,由T=2M/c得出

又根據
 
 
 
代入到上式,替換掉
 
 
於是得






代數變換得
 






分子分母同除C2,這個結果可變為:
注意前面t=2D/c
 
 
 代入到上式
 
 


物理解釋:
 
t是物體相對靜止時的“靜止時間”,而T是物體運動的時的“運動時間”。當運動速度v很小時,v/c近似等於0,這是T=t,也就是說我們坐火車、乘飛機、飛火箭是感覺不到時間“變慢的”。只有在“高速運動”(一般規定在十分之一光速),t和T才不是一回事,要加入“相對論修正因子”,就是大根號裡那些。

這時時間變慢了

代入其他因子:質量、動量、能量等等,那就是狹義相對論的全部。

推導過程只用到“畢氏定理”和“光速c恆常”
 
 
 

愛因斯坦與畢達哥拉斯定理

愛因斯坦與畢達哥拉斯定理

王伯年 宋利敏 史兆申(上海理工大學,上海 200093)
 
 
 
 
[摘要] 基於對可靠而原始的愛因斯坦傳記材料、愛因斯坦的《自述》和歐幾里得《幾何原本》的分析,可以證實愛因斯坦12歲時曾獨立地得出了畢達哥拉斯定理的一種證明,而且這是為數眾多證法中最為簡單和最好的。然而,這不是創新的,因為《幾何原本》中就有了這一證法。愛因斯坦天賦的好奇心、敏銳的理性思維、勤奮的鑽研精神和啟蒙者對他的教育是這一奇蹟發生的必要條件。
 
2004年6月,聯合國第58次會議決定:2005年為世界物理年。用一門科學命名世界年,這是聯合國歷史上還是第一次,這是為了紀念1905年愛因斯坦奇蹟般地發表劃時代意義的5篇學術論文100週年,同時也是紀念這位20世紀最偉大的物理學家逝世50週年。愛因斯坦不是一位數學家,而是一位理論物理學家。他將當時處於創建階段的張量分析用於廣義相對論,不但為這種理論找到了有效的數學工具,並對推動和完善張量分析在數學中的發展起到了重要的作用。此外,愛因斯坦還在愛因斯坦求和約定和愛因斯坦張量等方面對數學作出了直接的貢獻。本文不研究愛因斯坦與張量分析的關係,而研究數學中一條十分重要的定理—畢達哥拉斯定理(以下簡稱為畢氏定理)與愛因斯坦的關係,這與他在12歲時是否創新地得到了該定理的證明有關。

一些重要的說法



1.1 1921年Moszkowski的說法

Alexander Moszkowski(1851-1934)是與愛因斯坦早年有密切交往的柏林文藝批評家,他從1919年夏季至1920年秋季曾與愛因斯坦作了一系列的對話,隨即出版了有關愛因斯坦第一本傳記的英文本和德文本,此書英文本於1972年再版,書名改為《與愛因斯坦的對話》。顯然,該書初版內容是得到愛因斯坦認可的。其中有愛因斯坦與畢氏定理關係的首次較為詳細的報導,Moszkowski寫道:“有一次雅可比叔叔向愛因斯坦講了畢氏定理的內容,而未講任何證明。他的侄兒理解所涉及的關係,並感到可基於一種理由而推導出來。……這個小孩在三個星期中用其全部的思維力量去證明這一定理。他專注到三角形的相似性(從直角三角形的一個頂點向斜邊作垂線)得到了一個證明。為此,他長時間的激動!這雖然僅涉及到一個非常古老的著名定理,他卻經歷了發現者首次的快樂。”



1.2 1924年Maja Einstein的說法

愛因斯坦的妹妹Maja Einstein(1818-1951)在1924年2月15日寫成了《阿爾伯特•愛因斯坦——為他的生平事略而作》一文,但一直未公開發表。由於此文的重要性,《愛因斯坦全集》的編者於1986年將此文的部分內容載於全集第一卷正文之前,此文涉及到愛因斯坦12歲時證明畢氏定理的內容。

對於愛因斯坦學習幾何,Maja 在文中寫道:“他不是從書中得知它們的證明,而是企圖自己來證明它們。”又說:“阿爾伯特總是找到了正確的證明,甚至還發現證明畢達哥拉斯定理的一個嶄新的方法。獲得這樣的結果,這個孩子感到莫大的幸福,這時他自己已經意識到他的才能指點他的道路。”這段話清楚表明作者認為愛因斯坦曾給出畢氏定理一個嶄新的證明,而且這段經歷對愛因斯坦以後從事科學研究有重大影響。此外,全集的編者還對此事加註說:“根據這篇文章(指愛因斯坦的《自述》)中的敘述和Moszkowski書中第222-223頁的內容,就可以重建他的證明。 ”這說明全集編者認同Maja的說法,並向讀者提供了證實這一說法的參考文獻。

1.3 1930年Anton Reiser 的說法



Anton Reiser(1889-1964)是Rudolph Kayser 的筆名,他是一位德語專家,1924年與愛因斯坦的繼女結婚,1930年發表了《愛因斯坦傳》一書。此書曾得到過愛因斯坦充分的認可,他為該書曾寫了一段話,其中有一句為:“我感到這本書從頭到尾講的事都是相當確鑿的。”Reiser 對愛因斯坦證明畢氏定理的事寫道:“他的叔叔向他講了畢氏定理,只講了內容,而未講證明。這個孩子的雄心大志是不借助現有的最少的幾何知識,去發現他自己的證明。奇蹟終於發生了……,他獨立地成功證明了歐幾里得幾何的關鍵定理。……當Spieker的幾何書到了他手裡時,除了2到3道難題外,他迅速成功地解答了所有的習題。”



1.4 1932年Talmey的說法

Max Talmey(1869-1941)是愛因斯坦10歲到15歲時與之密切相處,並對愛因斯坦給予良好教育的人,1932年發表了 ,並在中有著愛因斯坦少年時學習數學的生動描述。他寫道:“我給他Spieker的幾何學教科書自學。每週我慣常去他家一次,他總是很高興給我看他上週解出的新習題。開始時,我幫助他解難題, ……,過了不久,幾個月,他已經把Spieker整本書都學完了。……不久,他的數學天才飛得那麼高,我不再能跟得上了。”Talmey所述內容中,並未提及愛因斯坦證明畢氏定理一事。



愛因斯坦本人的說法

應PA Schilpp的請​​求,愛因斯坦在1946年寫了《自述》一文,“向共同奮鬥著的人們講一講一個人自己努力和探索過的事情”。此文首先發表在中,中文譯文見。愛因斯坦在此文中寫道:“在12歲時,……有位叔叔曾經把畢達哥拉斯定理告訴了我。經過艱鉅的努力以後,我根據三角形相似性成功地'證明了'這條定理;在這樣做的時候,我覺得,直角三角形各個邊的關係'顯然'完全決定於它的一個銳角。在我看來,只有在類似方式中不是表現得很'顯然'的東西,才需要證明。”值得注意的是:愛因斯坦在'證明了'上面打了引號,這意味了這樣的'證明了',是有限定意義的。



愛因斯坦對質疑的答复

1953年3月14日在愛因斯坦74歲生日宴會之前,舉行了一個簡短的記者招待會,他收到了一份書面的問題單,其中第一個問題就涉及在他12歲證明畢氏定理的事,愛因斯坦對此作了明確的回答。第一個問題是:“據說你在5歲時由於一隻指南針,12歲時由於一本歐幾里得幾何學而受到決定性的影響。這些東西對你一生的工作果真有過影響嗎?”愛因斯坦回答:“我自己是這樣想的。我相信這些外界的影響對我的發展確是有重大影響的。但是人們很少洞察到他自己內心所發生的事情。當一隻小狗第一次看到指南針時,它可能沒有類似的影響,對許多小孩子也是如此。事實上決定一個人的特殊反應的究竟是什麼呢?在這個問題上,人們可以設想各種或多或少能夠行得通的理論,但是決不會找到真正的答案。”由此可見,在愛因斯坦逝世前一年,他仍然充分肯定他少年證明畢氏定理之事對他一生重大的影響。

 
愛因斯坦的證明方法



至今未見到愛因斯坦12歲時對畢氏定理證明的詳細內容,但是按照上述材料,不難正確地推論出他的方法如下所示。

下圖,專注到三角形的相似性,從直角三角形的一個頂點向斜邊作垂線,設交點為D。兩直角三角形的相似,完全取決於它們的一個銳角,如果有一銳角相等,二者相似;否則,不相似。
 
 
 
圖中△ABC、△DBC、△DCA彼此是相似的,因為它們有一銳角是相等的。△ABC與△DBC因相似,二者的兩對應邊長之比相等,即



c/a=a/e ⇒ ec=a^2 (1)



對△ABC與△ACD,同理有



c/b=b/f ⇒ fc=b^2 (2)



(1)+(2),得到:



ec+fc = (e+f)c = c^2= a^2+b^2 (3)



上式就是畢達哥拉斯定理的內容。



由上可知:基於對直角三角形的斜邊作垂直,構成兩個與原直角三角形相似的直角三角形,再利用兩相似三角形的對應的邊長之比相等,即可導出畢氏定理。據作者的分析與研究,這種證明是現有約300種畢氏定理證法中最為簡單的:僅需作一條輔助線和僅需三步推理運算,即可推導出畢氏定理因此,這種證法是最好的。



愛因斯坦的證明是創新的嗎?



仔細閱讀歐幾里得的《幾何原本》就會得知,在這本劃時代的經典著作中,對畢氏定理不僅提出了人們所熟悉的在直角三角形的三條邊上,向外分別作三個正方形的比較繁的證法,而且還有另外的基於相似三角形相似特性的證法,其內容與圖1所示的方法完全相同,僅是敘述較繁,而且把內容置於第Ⅵ卷命題8和命題31之中,並表達為:“在直角三角形中,對直角的邊上所作圖形(的面積)等於夾直角邊上所作與前圖形相似且有相似位置的兩圖形(的面積)的和。”

 
 


愛因斯坦知道《幾何原本》中上述證法嗎?他12歲時,不會知道。因為對於一個12歲的小孩,通常是不會去查閱2000多年前的經典文獻。在愛因斯坦成人,尤其是成名之後,他有可能會閱讀《幾何原本》,也有可能會讀到《幾何原本》中關於畢氏定理的基於相似三角形特性的證法。因此,與愛因斯坦深談過的Moszkowski寫他'證明了這一定理',愛因斯坦的女婿Reiser寫他'獨立地成功證明了歐幾里得幾何的關鍵定理',愛因斯坦少年時期的教導者、有著良好的科學素養的Max Talmey根本就沒有突出愛因斯坦與畢氏理論的關係,以及愛因斯坦本人在'證明了'這條定理的證明了上面打上引號,所有這些說法都是可以理解了!至於愛因斯坦的妹妹Maja說她哥哥“發現證明畢達哥拉斯定理的一個嶄新的方法”之不確切,只能歸因於她缺乏科學背景的原因。 《愛因斯坦全集》編者認同Maja對此的附註,也只能歸因他們未曾對畢氏定理的種種證法作過深入的分析與研究。



結論

(1)愛因斯坦12歲時,在未學過平面幾何的情況下,曾基於三角形的相似特性,獨立地給出了畢氏定理的一個證法,而且這一證法是畢氏定理中最簡單和最好的證法。(2)愛因斯坦這一證法並不是創新的或嶄新的,因為在公元前的歐幾里得《幾何原本》中,已經有了這種證法。(3)愛因斯坦之所以在12歲時完成了常人無法達到的成果,是由於他天賦的好奇心、敏銳的理性思維、刻苦的鑽研精神以及啟蒙者對他諄諄教導的結果。(4)經典著作,如《幾何原本》等是無價的知識寶庫。對於研究者而言,深入鑽研經典著作是必不可忽缺的。

2012年4月24日 星期二

空間的重新理解

空間的重新理解
名叫球中球空間,這個空間概念的結構就是一個空心玻璃球,現在有一個空心大玻璃球,再有一個較小的空心玻璃球放置在大空心玻璃球其中,球中球空間的具體形象就是這樣,這個以後篇我會再詳細闡述清楚,小玻璃球的空間和大玻璃球的空間是隔開的,但大玻離球的空間則包含小玻離球,當然現實中玻璃球的「玻璃」不是那麼具體,正常情形下還是可以穿過的,那是無形的,那我說這是個概念的原因,是那種彷彿存在但又不可能的事。結構不止有兩個「玻璃球」,而是接近無限的數量的玻璃球形成一層層的空間,這種工作就像是在將空間量化,微分一樣,用眾玻璃球將空間切割。可以達至無限因為那對整件事沒有關係,允許無限而己。
我們假設玻璃球在滾動,它不動時,內面的空間的時間正常行走,動時,時間會被壓縮,玻璃球中空間的時間運行速度的縮放是基於那玻璃球的旋轉速度,這是狹義相對論的時間澎漲與長度收縮的情況了,而畢竟生活上還會碰上這些情況,我們準備了一張長桌,現在我手中拿著一個玻璃球,我讓玻璃球從桌前滾動至桌後,在這段期間玻璃球內的時間就經歷了一段時間收縮,現在拿走長桌,我將玻璃球放到了宇宙去,將它轉動,我們觀察其運動,就會發現一個情況,這個情況解釋了為何我們的世界是這樣子的,我們觀察到的是玻璃球的中心部份往往靜止不動,無論玻璃球旋轉得多高速,而玻璃球最外面必比較內的一層旋轉得快,這個情況是整個概念的精髓。
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結構
現在我們就來看看球中球空間的結構,我帶來了兩幅圖,我們來逐一看看
第一幅圖呈現一系列圈狀結構,這是用二維平面去刻畫球中球空間這描述三維時空的概念,就從球的直徑切割下來,像切開橘子觀看其種子的結構一樣。我先說一次,這種結構在現實世界中不存在,至少現在未被證實存在,只是一種概念,用來理解這個更為複雜的世界。這將圖所顯示的是那個大圈(最大球)的左上角部分,圖左上角標簽為原始球最外層,剖析其結構,第一張所顯示的結構部份為一個原始大圓的左上角部份,而圖中左上角標簽原始球最外層點出球最外層位置,從該層開始遂層出現縮小的圈,成同心圓狀,圖中心有一個看似複雜的圓形結構,結構中一列同等大小的圓圈作圓形狀排例,圖中只約略顯示是甚麼一回事,事實上整個圖像會依規律豐滿呈現。這個結構就是球中球,原始球中的另一個球狀結構。當然原始球中的球不止一個,也不集中在同一個位置。原球中的球中的更小的球也顯示在上這張上。
圖片只能呈現停止圖像,我現在用文字說明其運動狀態 。就用剛才的車輪例子: 整個結構為一個車輪,車輪的圖周就是我們在圖中看到的最外層,車輪現在被啟動,高速向著右面轉動,圖中間的「複雜結構」便會高速移向右面並跟著轉動,觀察車輪時會發現外層部份總比內層部份移動得更高速,這是因為外層需與內層在同一時間長度的情況下要走更遠的路程,這種現像同樣在這裏出現,外層部份在同心圓式旋轉之下必定比內層部份移動得快,而中心點則會停止不動,說到這裏,有人又要叫起來,那即是說外層空間中的時間運動會因其高速運動而壓縮而內層空間的時間運動則因其較為低速的運動而受比較輕微的壓縮,那中間部份就是正常時空了吧! 事實上將這種情況套在生活上還頗為合理的。
現在我們看回第一張圖,之前的一大段中的描述只啟動了原始球這個大車輪,現在我們進一步啟動那個原始球中的「小車輪」,即是那片複雜的圖案,「小車輪」現在在跟著大車輪向右旋轉的同時,自己也在向右自轉,觀看這些時就先從原始球最外層開始,原始球最外層在加入眾「小車輪」自轉的這個因素後,它空間的移動速度便加乘了「小車輪」的最外層的移動速度,即是整個「小車輪」最高速的那部份,可以在圖中觀察,由於原始球最外層空間的旋轉速度加乘了,應該說成「看似」被加乘了,你可能想問好久了,為甚麼原始球最外層外還有一層,那是甚麼玩意?我現在就告訴你,那是原始球最外層被加乘了的情況下,衍生的虛構空間。
現在我們從最外層中走下一層,原始球最外層的下一層,我們以下叫這一層為第二層,從第一張圖中我們看到這一層的情況,「小車輪」的上腰部位置出現在這一層,這腰部位置的路徑漸漸向原始球中心垂直,它所能對第二層的移動速度的作用會漸漸減小,即是第二層的移動加乘會比第一層小,如此推論,第三層,即是最外球以下第二層移動加乘會比最外層及第二層都要小,因為「小車輪」的路徑己接近完全垂直於中心點了,而第四層更甚,但情況在第五層出現改變了,第五層中出現的「小車輪」部分的路徑已從垂直轉而成為逆向,而對第五層的影響已不再是加乘多小,而是傂減了,而第五層的傂減程度會是最小而至第六層這種影響的程度會漸漸增加,而第八層受那個「小車輪」的遞減影響是最大的,直至第九層就反而會再次受到另一個「小車輪」的加乘影響。由此我們可以看到整個圖像根本是一個波動的圖像,由低谷往高峯再回到低谷。當然這些還需要確實的數據才能肯定,但這些已足夠令人感到驚呀。還有一點,就是尺寸壓縮上,這可能還引申出下一個有趣的地方,在大車輪,即是原始球轉動時,「小車輪」的形狀並不如以上所陳述的那麼「圓」美,而會被壓縮,而變成一個直直的圈,如果原始球轉動的速度夠快,「小車輪」最終就會被壓縮成一條線,你想想這會發生甚麼事?當「小車輪」變成一條線,它的所有部份就會垂直於中心點,它對大車輪層數移動速度的影響就會降至零,那整個圖像就不再是波動圖像,而是直狀圖像。
加入了原始球及二次球旋轉這個因素後,現在進一步啟動三次球,可以在圖中看到一列小圈,那些就是三次球,在原球中的球的球,事實上真正的結構並不止至到三次的球,而是無限多,但你要知道即使我話係無限多的球中球,但最終你看到的結構也只是簡單的同心圓圖像。現在眾三次球被啟動後,向右面高速旋轉,到此你可能已經估到我要說的是甚麼了,三次球的啟動為原始球最外層的旋轉再注入一次加乘,但這次加乘的強度會比二次球那次加乘小,上面兩段提過原始球最外層之外那個虛構空間,而隨著三次球這次加乘,這個虛構空間會再加上一層比它本身淺的虛構空間,那你也可以就此推論,當下回四次球被啟動後,這兩層虛構空間之上又會再加上一層更淺的虛構空間,形成衰減圖像,情況就像一輛車行走下山一樣。
雖然說是結構,看似複雜的結構,但你們會發覺,當這結構更複雜時,它所展現的圖像就更簡單,早前說球是可以無限多個,也就是說結構無限複雜,而圖像會被填滿而成為一個黑點,也就是一個玻璃球旋轉的圖像,甚至是波動圖像,視乎其玻璃球的旋轉速度。
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透視原理

接下來,我會說明一下球中球透視原理的問題,我們球中球這個概念已完全觸碰到透視學的根本原理了,一個從未被深入發掘的領掝,自小美術老師教我們的透視法,我們已能靈活運用,可是這畢竟是個法則,是我們觀察的結果,究竟背後的原理是怎樣?我們在球中球空間這個概念中或許得到解答,為何東西離你越遠,變得越細? 廣義相對論上提出加速的空間內不但內裏的時間運行速度會被壓縮,那個空間內的物質同樣會被壓縮。為何越近我們的東西顯得越大,越遠的東西顯得越細? 更重要的一點是,為何光線自源起就必定要擴散開來,而不沿直線走,是能量守恆所能解答的嗎?我看不是,能量守恆也有當中的原理。而且我們還不完全曉得光究竟是甚麼形態。光究竟是粒子還是波。歷史上的種種說法就便不斷興起又推翻,雙狹逢實驗中兩處光源在東西分隔的情況下產生了波的干涉現象,但只有一處光源的情況就產生粒子束射現象,顯示光同時包含了粒子與波的性質。
我還有個例子說明定律背後的原理的形態,先由光線的折射現象說起,光束當由兩個密度不一的物質穿過時就會出現折射現象,光束由一條條平衡的光線組成,當光束由一低密度物質向左傾鈄打入另一較高密度物質時,光束最左面的光線會最先進入高密度物質中,這條光線會最先受影響而減速,但其餘光線仍未受影響,繼續均速行進,漸漸地整條光束便傾鈄,這就是折射的原理。在一個方形中,直線要比鈄角線更短,可說是一條捷徑,問題在這裏,光線打入較高密度的物質後,在自身被減速的情況發生後竟然「自覺」要走一條更短的路徑來補回所用的時間。上帝在不知不覺間給光「意識」了。這種「自覺」是一條定律又基於那條簡單而又理所當然的折射原理。

 將它套用在一個人上,人為中心,球中球空間的結構向四方擴展。這時你會了解到越遠離你的玻璃球層的時空越受壓,越接近你的玻璃球層的時空越正常,而物質也相對受到不太嚴重的壓縮。中心點為一正常時空,即是人就在那正常時空中,越靠近你的東西的尺寸會呈現得越真實,反之越遠的東西會因它處在相對於人這個中心點較外的一層,其所處時間層會受壓縮,其尺寸也會「看似」縮短了。這就是我們現在看見的三維透視現象,球中球概念呈現真實情況。
我們經常在夜晚舉頭望天,會看見月亮在愋慢移動著,我們就在那小玻璃內,月亮就在小玻璃球外,跟據我們以上的理論,大玻璃球與小玻璃球之間的空間的時間運行速度比小玻璃球空間慢,那我們就應該看到月亮無影地在高速移動才對,為何月球卻看似移動得很慢。在解釋這種錯覺時,狹義相對論原理就可大派用場,正是因我們永遠自覺自己身處在一個固定的觀察點,或叫參考座標系,而我們會覺得是「大玻璃球」在高速移動,而不是我們自己,所以會覺得球外的空間的時間被壓縮,進而得到月亮移動得慢,這種錯覺。當他們明白到球中球概念,就不用天天拿著望遠鏡觀察也能罷脫這個錯覺,就用一個明顯的比較,月亮看似移動得很慢,而放在我們面前的玩具車卻看似移動得很快,到底是誰更快,現在我們能輕易得出答案,當然是月亮快了,月亮是在用1.022公里每秒高速移動著的,這已成為我們直覺的一部份。


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時間壓縮

在前面結構一篇中,描述了球中球概念的大概結構,在構思這個時,我從中得到了很大的啟示,那是一個關於狹義相對論中時間壓縮的堪新理解,以下會舉個事例作具體說明,現在有一艘郵輪從A島出發,目的地是五公里外的B島,郵輪上和A島碼頭上各有一個人負責錄取郵輪行駛至B島所需的時間,A島碼頭的人所錄取的時間和郵輪上的人錄取時間差異問題,A島碼頭上的人所錄取的時間往往會快一些,在思考這個時有不少人會覺得不知所 。從另一個事例思考,現在有一輛行駛中的火車,有個槍手拿著兩支手槍在火車上同時向車頭的司機和車尾的一個乘客開槍,但在車站上目睹這件凶案的人在給口供時會說乘客先中彈死亡。因此我們會說車站上的乘客為乘客提供了個相對較快的死亡時間,或說槍手自以為同時射死了兩個人。這種說明已給了大家一個很好的概念,但卻指明不了最正確的時間,只加插了相對性,有個有趣的地方是,我們不知道車站是不是也在移動。現在我們從球中球概念去思考這,現在還原到郵輪的事例,球中球同心圓結構從郵輪中心擴張開去一直擴張至B島的所在地,前篇說過球中球是一個旋轉的結構,【先說為「旋轉」,其後我會告訴你這個旋轉也是「幻覺」,是一個球中球四維結構穿過我們的三維空間而成的旋轉幻覺,或說是一個四維結構的投影,這方面我還不是弄得太清楚,不過這些都是後話。】
球內的時間會由中心的正常時間開始逐層減慢,現在我們可以知道當我們坐在停靠在A島碼頭的郵輪上,我們所看到B島的境像是其以往的境像,先假設是以往五分鐘的境像。其實這還是光學中的一種解釋,B島發出的光需要時間才能到達A島的情況,有趣的地方就在這裏。似乎牛頓光學和相對論還真能融合在一起。我們繼續,現在郵輪開始啟航了,郵輪駛出了A島碼頭,向B島進發,在郵輪上擴展開的球中球結構也會隨著郵輪移動,假設我們這艘郵輪三分鐘後就到達B島,即比在A島碼頭的時侯看B島時的境像還快了兩分鐘,這樣我們就進行了一次時間壓縮的旅程。
其後我們可以再看看當中有些甚麼有趣的事情,我們現在已經在B島了,我們看回A島,那是五分鐘以前的境像,我描述一下這個境像,首先,A島在整個境像的中間,它周圍漸漸接近我們的境物漸漸變大,整個是一個由A島發出的放射狀圖像,現在我告訴你,A島上也有另一個球中球結構從那裏展開,換句話說,我們看到的這個放射狀圖像就是在看那個球中球結構,而A島就是那個結構的中心,因為我們身處在自己球中心的正常時空而所作的觀察可以不受那個球的運動的影響,但如果你在A島觀察我們,你大可否定我們的觀點。現在有一個第三者,他居住在C島,當有人向他陳述這些時,他會輕易想出一個雙原始球交疊模型來解釋這些,一個原始球以A島為中心擴展延伸,而另一個原始球以B島碼頭上的輪船為中心擴展延伸,從而得出結論。牛頓光學在這方面雖然已給我們從大啟示,但從來不是答案,我們還有很大的思考空間,而球中球結構會更複雜。
其實我上一段提到的雙原始球交疊模型是有點與陰陽交合的概念相似,當中彷彿存在某種關係或者就只能說是相似的兩回事,要知道我們這個世界很多東西都是呈現二元對立的,但我們在沒有證據時就輕易的說是同一回事。
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光障

現在我們從地球跳進宇宙,來看看球中球概念在這裏的應用是多麽的奇妙, 我們坐在一艘太空船中,向著宇宙深處進發,探討一下光障的問題,我們現在就來看看球中球空間如何呈現光障,我們能否突破光障,我先從我們能否以達到宇宙邊界的假想問題開始說述。
回想一次那個車輪上針子的例子,車輪在轉動以至貼在其上的釘子也一同轉動,而車輪又是另一個更大的車輪的「釘子」,受到更大的車輪轉動的巨大影響而跟著轉動,如此推演,我們輕易地就能得知,最內球的滾動速度將異常的快,那最內空間的時間運動就有可能達到停止效果,但這只是又一次空洞的推理,讓我們再一次呈上質能等價方程來具體說明,質能等價理論說到任何物體的運動速度不可能達到光速,只有質量為零的的粒子才可以以光速運動,而物質如達到光速,時間會停頓。名叫最內球自然說明此球內已經沒有另一個更了的球了,那已是最小的「釘子」,這個質量為零的粒子就是最內球,那它就具備達到光速的能力了,而那裏的時間運行速度就是靜止的。 了解球中球空間後,運用這個概念去想很多問題似乎也得到新的解。先是超光速問題,看我們球中球概念得出怎樣的解,以上說到最內球的時間運動是靜止的,而最外球的時間運動是最正常的,那由此推斷,超光速時空應當出現在以上提到的那個最內球之內,但最內球質量為零,根本再沒有物質可用於進行超光速的行為,所以完全有理由相信不可能有超光速的物質運動(即時間倒流的時空)存在。但有趣的一點在,質量為零的最內球中是有條件存在質量為零的物體,這些物體能成為一個空間,以供時間倒流的發生,這是球中球空間對光障了解的特點。

量子理論一直對不可能有超光速這個方面有所保留,充份了解這個球中球概念就能對此有更具體的理解,量子理論中表達了就算在一個完全沒有物質,但存在能量的世界裏面,也有非常活躍的物質運動,因為能量和物質能夠自由轉換,這種「運動」就是一些從能量轉化為物質的粒子會在瞬間誕生,但也會瞬間就會自我毀滅,這種情況發生的時間進程是極之短已至要在極之小的尺度下來能顯現出來,不是的話我們還是只能看到一個「真空」,這就是為甚麼超光速可能會發生。加入量子理論這個對微觀世界的描述後,我們所說的球中球概念,最內球這個「真空」質量為零的空間之內,在瞬間會有一些剛從能量轉化為物質而誕生的粒子可供進行超光速運動。雖然這個超光速運動只在瞬間發生,但已導致量子物量學和廣義相對論的一大衝突。
說到球外的世界時間比球內走得快,我們也知道宇宙在擴張,把我們球中球概念套在宇宙和太陽系之間上,得出的結論是,如果我們坐太空船出發,永遠都不能追上宇宙邊界,宇宙對我們來說會變得無窮無盡,因為宇宙邊界的時間比太陽系時間走得快。這裏可以發現這個和光障的情況有點類近,
『除非我們能令太陽系這一球的滾動速度減慢至和宇宙邊界那一外球的滾動速度一致,在雙方時間運動平衡時,我們的太空船就能趕上宇宙邊界,突破到宇宙邊界這一球的外面另一個球。另外反過來看,在我們地球再去看微觀世界,細胞,粒子的世界,我們的時間比那些小小世界走得快,不要以為我們能看到那小小球內的活動,至少不能透過光這一途徑,因為那小小球內發出的光線就正如我們的太空船一樣,永遠追不上邊界的擴漲速度,我們不能看到小小球內的光線,只能看到黑色一片。我們觀察不到比自己小的世界,卻能看到比自己大的世界的光線。』
在上面提到我會說明球中球這結構的旋轉現象是如何一回事,真的是上帝把這些啟動嗎? 我想說明的是,那是一個四維結構穿過我們這個三維時空時我們所看到的情況,而我們只能感受到一個旋轉結構而看到我們的世界。而這個四維結構會是完美但又充滿奇異。
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下一篇我繼續描述一下這個球中球四維結構與其我們看到它的三維旋轉結構的初始運動狀態關係的奇想

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