三次數學危機

第一次數學危機
  

   歷史背景

畢達哥拉斯（約公元前580年—公元前300年）是一位古希臘的數學家及哲學家，他曾有一句名言「凡物皆數」，意思是萬物的本原是數，數的規律統治萬物。不過要注意的是，在那個年代，他們相信一切數字皆可以表達為整數或整數之比——分數，簡單而言，他們所認識的只是「有理數」。

有趣的有理數

 

當時的人只有「有理數」的觀念是絕不奇怪的。對於整數，在數線上我們可以知道是一點點分散的，而且點與點之間的距離是一，那就是說，整數不能完全填滿整條數線，但有理數則不同了，我們發現任何兩個有理數之間，必定有另一個有理數存在，例如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，因此令人很容易以為「有理數」可以完全填滿整條數線，「有理數」就是等於一切數，可惜這個想法是錯的，因為……

畢氏定理、畢氏鐵拳

 

偉大的時刻來臨了，畢達哥拉斯發現了現時眾所周知的畢氏定理（其實中國於公元前一千一百年已有此定理），從這個定理中，畢達哥拉斯發現了一件不可思議的事，就是腰長為１的等腰直角三角形的斜邊長度，竟然是一個無法寫成為有理數的數。亦即是說有理數並非一切數，存在有理數以外的數，有理數不可以完全填滿整條數線，他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在當時的數學界來說，是一個極大的震撼，也是歷史上的「第一次數學危機」。

新的一頁

 

原來「第一次數學危機」是「無理數」的發現，不過它還說出了「有理數」的不完備性，亦即有理數不可以完全填滿整條數線，在有理數之間還有「罅隙」，無疑這些都是可被證明的事實，是不能否定的。面對著事實，數學家展開廣​​闊的胸襟，把「無理數」引入數學的大家庭，令數學更豐富更完備，加添了無理數，數線終於被填滿了。不過，第二次數學危機又將要來臨了！




第二次數學危機

 「飛矢不動」的弔詭

 

古代的希臘是研究哲學的人聚集的地方，在云云的哲學學派之中，其中一派主張「存在是靜止的，不變的，永恆的，變化與運動只是幻覺。」至於這個主張的理念，不是我們的討論範圍，不過，這個學派的學者之一——芝諾，為了論證運動是幻象，提出了「飛矢不動」的「理論」：箭在每一瞬間都要佔據一定的空間位置，即箭在每一瞬間存在，即箭在每一瞬間都是靜止的，又怎可能動呢？

數學——打破弔詭的武器

 

當然我們完全明白「飛矢不動」是一個歪論，但數學是一個講究嚴謹的學科，數學家們要從問題的核心「動」作為開始，要證明「飛矢必動」。所謂動是指有速率，而速率便是所走的路程和所用的時間的比，換句話說，要證明箭在每一瞬間都是動即，要證明箭在每一瞬間都有速率，但這是一個難題，因為如何找出每一瞬間的速率呢？

無堅不摧——微積分

 

要解決每一瞬間的速率（以下稱瞬時速度）的問題，偉大的數學家和物理學家——牛頓（Newton），發現了一件無堅不摧的武器——微積分，其中微分便正好可以計算出物體的瞬時速度。這個發現震驚了整個數學界和物理學界，而且除了瞬時速度，微積分更在不同方面有廣泛的應用，並得到了瞬速的發展。不過，好境不常…

既不是零又不是非零？

 

因為微積分必須要考慮所謂「無窮小量」的問題，所謂「無窮小量」是指一個「非零而又極接近零的量」，而所謂「極接近零」是指這個量「與零之間不容許有任何空間和距離」，換句話說，「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量，那麼，「無窮小量」是零嗎？如果解不到這個問題，所謂無堅不摧的微積分，便無立足之地，一切由微積分所得出來的完美的數學和物理學上的結果也付諸流水，所以數學史上稱之為「第二次數學危機」。

化危為機

 

數學是講究嚴謹的學科，數學家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰，是數學家的不朽格言。另一位偉大的數學家柯西（Cauchy），重新建立微積分學的基礎——數學分析。數學分析是透過一套嚴格的「數學語言——ε-語言」來說明甚麼是變量、無窮小和極限等的概念和定義，解決了甚麼是既不是零又不是非零的問題，而這次的危機亦安然渡過，並為數學的大家庭增添了一位成員「數學分析」，也提醒了數學家們要繼續要求嚴格，不可鬆懈。不過，第三次數學危機將要置數學於死地！

第三次數學危機

  一個有趣的故事

 

在村有一位手藝高超的理髮師，他只給村上一切不給自己刮臉的人刮臉，那麼，他給不給自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他是個不給自己刮臉的人，他應當給自己刮臉；如果他給自己刮臉，由於他只給不給自己刮臉的人刮臉，他就不應當給自己刮臉了。他應該如何呢？

數學和哲學界的巨匠——羅素

 

以上的故事就是著名的「羅素悖論」。羅素（Russell）是英國著名的哲學家和數學家，曾獲得諾貝爾文學獎金。他想把算術系統全歸結於邏輯，所以他與懷海德合作寫的一本巨著《數學原理》。

理髮師的威力

 

羅素的悖論確是給當時正為了微積分的嚴格基礎被建立而歡欣鼓舞的數學家們潑了一盆冷水，但這個理髮師的力量有多大，竟然可以推倒數學大廈呢？在較高等的數學裡，我們會把整個數學的基礎納入「集合論」之中，換句話說，集合論便是數學大廈的基石，所以當集合論中出現矛盾時，建基於此之上的數學大廈也會站不住腳，而羅素的悖論卻是向著這個基石作出致命的一擊，這個「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」的矛盾是在集合論中的矛盾，也就是在數學基礎中的矛盾，只要矛盾一日存在，數學大廈也不可穩固，更會在倒塌的危機，這個也是數學的第三次危機。

解鈴還須繫鈴人？

 

羅素雖然提出了問題，成為危機的製造者，但同時也是危機的解決者，羅素在他的著作之中提出了層次的理論以解決這個矛盾，使得「自己既要屬於自己又同時不屬於自己」不可能出現。不過，這個層次理論十分複雜，所以數學家要把這個方法加以簡化，而先提出的人是策墨羅，他提出了「有限抽象原則」和幾條公理，及後再由弗蘭克和斯柯倫的補充修改，仍成現在在數學上較為流行公理系統——「ZFS公理系統」。這樣不單只解決了羅素的悖論，令數學從回到嚴緊和無矛盾的領域，而且更促使一門新的數學分支——「數學基礎」有著迅速的發展。

數學危機的啟示

在這三次的數學危機中，我們可以看到數學的發展跟面對問題和正視困難是離不開的，透過克服一次又一次的困難而得到「成長」和完善，越是不怕艱辛，收穫便越大。第一次數學危機使人類突破有理數的局限；第二次數學危機從提數學的嚴緊性和誕生了新的數學分支；第三次數學危機警醒人除了發展各式各樣不同的分支以外，還得回看數學的根基本身，使數學邁向更完備。然而，成功並非一朝一夕，必須經歷無數的挫折和失敗，傷心和失望滿佈成功的路上，但只要不放棄，成功依然是可以達到的。另一方面是要從危機中的學習，學習如何應付之馀，還要學習如何避免再次陷入危機之中。

從畢氏定理到相對論

畢達哥拉斯定理

 

“直角三角形的兩個直角邊的平方和等於斜邊的平方。"

 

研究的問題

 

一束光射向一面鏡子再返回到出發點的路程上所用的時間。前提條件：光在空間運動速度雖然很快（每秒30萬千米）但它有限；並且這個速度是個“恆常數”，和光源的運動無關。記做c。這是個“實驗結果”。

這一往返要花的時間

t=2D/c（t:時間，D:人到鏡子距離，c:光速）

現在我們考慮，觀察者以v速度運動，鏡子和我們計時的時鐘都靜止不動，那麼光線所走的路程記作：2M

那麼，所花的時間就不同了

T=2M/c

我們把一個計時鐘放在發光點處，另一個放在接收點處。那麼，這兩個計時鐘的距離就是L=vT (L兩時鐘距離，v觀測者運動速度，T光線運動時間，也是人運動時間。）

根據畢達哥拉斯定理：
 

那麼，由T=2M/c得出

又根據

 

 

 

代入到上式，替換掉

 

 

於是得

代數變換得

 

分子分母同除C2，這個結果可變為：

注意前面t=2D/c

 

 

 代入到上式

 

得

 

物理解釋：

 

t是物體相對靜止時的“靜止時間”,而T是物體運動的時的“運動時間”。當運動速度v很小時，v/c近似等於0，這是T=t，也就是說我們坐火車、乘飛機、飛火箭是感覺不到時間“變慢的”。只有在“高速運動”（一般規定在十分之一光速），t和T才不是一回事，要加入“相對論修正因子”，就是大根號裡那些。

這時時間變慢了

代入其他因子：質量、動量、能量等等，那就是狹義相對論的全部。

推導過程只用到“畢氏定理”和“光速c恆常”

 

 

 

愛因斯坦與畢達哥拉斯定理

愛因斯坦與畢達哥拉斯定理

王伯年 宋利敏 史兆申（上海理工大學，上海 200093）

 

 

 

 

[摘要] 基於對可靠而原始的愛因斯坦傳記材料、愛因斯坦的《自述》和歐幾里得《幾何原本》的分析，可以證實愛因斯坦12歲時曾獨立地得出了畢達哥拉斯定理的一種證明，而且這是為數眾多證法中最為簡單和最好的。然而，這不是創新的，因為《幾何原本》中就有了這一證法。愛因斯坦天賦的好奇心、敏銳的理性思維、勤奮的鑽研精神和啟蒙者對他的教育是這一奇蹟發生的必要條件。
 2004年6月，聯合國第58次會議決定：2005年為世界物理年。用一門科學命名世界年，這是聯合國歷史上還是第一次，這是為了紀念1905年愛因斯坦奇蹟般地發表劃時代意義的5篇學術論文100週年，同時也是紀念這位20世紀最偉大的物理學家逝世50週年。愛因斯坦不是一位數學家，而是一位理論物理學家。他將當時處於創建階段的張量分析用於廣義相對論，不但為這種理論找到了有效的數學工具，並對推動和完善張量分析在數學中的發展起到了重要的作用。此外，愛因斯坦還在愛因斯坦求和約定和愛因斯坦張量等方面對數學作出了直接的貢獻。本文不研究愛因斯坦與張量分析的關係，而研究數學中一條十分重要的定理—畢達哥拉斯定理（以下簡稱為畢氏定理）與愛因斯坦的關係，這與他在12歲時是否創新地得到了該定理的證明有關。

一些重要的說法

1.1 1921年Moszkowski的說法

Alexander Moszkowski（1851-1934）是與愛因斯坦早年有密切交往的柏林文藝批評家，他從1919年夏季至1920年秋季曾與愛因斯坦作了一系列的對話，隨即出版了有關愛因斯坦第一本傳記的英文本和德文本，此書英文本於1972年再版，書名改為《與愛因斯坦的對話》。顯然，該書初版內容是得到愛因斯坦認可的。其中有愛因斯坦與畢氏定理關係的首次較為詳細的報導，Moszkowski寫道：“有一次雅可比叔叔向愛因斯坦講了畢氏定理的內容，而未講任何證明。他的侄兒理解所涉及的關係，並感到可基於一種理由而推導出來。……這個小孩在三個星期中用其全部的思維力量去證明這一定理。他專注到三角形的相似性（從直角三角形的一個頂點向斜邊作垂線）得到了一個證明。為此，他長時間的激動！這雖然僅涉及到一個非常古老的著名定理，他卻經歷了發現者首次的快樂。”

1.2 1924年Maja Einstein的說法

愛因斯坦的妹妹Maja Einstein（1818-1951）在1924年2月15日寫成了《阿爾伯特•愛因斯坦——為他的生平事略而作》一文，但一直未公開發表。由於此文的重要性，《愛因斯坦全集》的編者於1986年將此文的部分內容載於全集第一卷正文之前，此文涉及到愛因斯坦12歲時證明畢氏定理的內容。

對於愛因斯坦學習幾何，Maja 在文中寫道：“他不是從書中得知它們的證明，而是企圖自己來證明它們。”又說：“阿爾伯特總是找到了正確的證明，甚至還發現證明畢達哥拉斯定理的一個嶄新的方法。獲得這樣的結果，這個孩子感到莫大的幸福，這時他自己已經意識到他的才能指點他的道路。”這段話清楚表明作者認為愛因斯坦曾給出畢氏定理一個嶄新的證明，而且這段經歷對愛因斯坦以後從事科學研究有重大影響。此外，全集的編者還對此事加註說：“根據這篇文章（指愛因斯坦的《自述》）中的敘述和Moszkowski書中第222-223頁的內容，就可以重建他的證明。 ”這說明全集編者認同Maja的說法，並向讀者提供了證實這一說法的參考文獻。

1.3 1930年Anton Reiser 的說法

Anton Reiser（1889-1964）是Rudolph Kayser 的筆名，他是一位德語專家，1924年與愛因斯坦的繼女結婚，1930年發表了《愛因斯坦傳》一書。此書曾得到過愛因斯坦充分的認可，他為該書曾寫了一段話，其中有一句為：“我感到這本書從頭到尾講的事都是相當確鑿的。”Reiser 對愛因斯坦證明畢氏定理的事寫道：“他的叔叔向他講了畢氏定理，只講了內容，而未講證明。這個孩子的雄心大志是不借助現有的最少的幾何知識，去發現他自己的證明。奇蹟終於發生了……，他獨立地成功證明了歐幾里得幾何的關鍵定理。……當Spieker的幾何書到了他手裡時，除了2到3道難題外，他迅速成功地解答了所有的習題。”

1.4 1932年Talmey的說法

Max Talmey（1869-1941）是愛因斯坦10歲到15歲時與之密切相處，並對愛因斯坦給予良好教育的人，1932年發表了 ，並在中有著愛因斯坦少年時學習數學的生動描述。他寫道：“我給他Spieker的幾何學教科書自學。每週我慣常去他家一次，他總是很高興給我看他上週解出的新習題。開始時，我幫助他解難題， ……，過了不久，幾個月，他已經把Spieker整本書都學完了。……不久，他的數學天才飛得那麼高，我不再能跟得上了。”Talmey所述內容中，並未提及愛因斯坦證明畢氏定理一事。

愛因斯坦本人的說法

應PA Schilpp的請​​求，愛因斯坦在1946年寫了《自述》一文，“向共同奮鬥著的人們講一講一個人自己努力和探索過的事情”。此文首先發表在中，中文譯文見。愛因斯坦在此文中寫道：“在12歲時，……有位叔叔曾經把畢達哥拉斯定理告訴了我。經過艱鉅的努力以後，我根據三角形相似性成功地'證明了'這條定理；在這樣做的時候，我覺得，直角三角形各個邊的關係'顯然'完全決定於它的一個銳角。在我看來，只有在類似方式中不是表現得很'顯然'的東西，才需要證明。”值得注意的是：愛因斯坦在'證明了'上面打了引號，這意味了這樣的'證明了'，是有限定意義的。

愛因斯坦對質疑的答复

1953年3月14日在愛因斯坦74歲生日宴會之前，舉行了一個簡短的記者招待會，他收到了一份書面的問題單，其中第一個問題就涉及在他12歲證明畢氏定理的事，愛因斯坦對此作了明確的回答。第一個問題是：“據說你在5歲時由於一隻指南針，12歲時由於一本歐幾里得幾何學而受到決定性的影響。這些東西對你一生的工作果真有過影響嗎？”愛因斯坦回答：“我自己是這樣想的。我相信這些外界的影響對我的發展確是有重大影響的。但是人們很少洞察到他自己內心所發生的事情。當一隻小狗第一次看到指南針時，它可能沒有類似的影響，對許多小孩子也是如此。事實上決定一個人的特殊反應的究竟是什麼呢？在這個問題上，人們可以設想各種或多或少能夠行得通的理論，但是決不會找到真正的答案。”由此可見，在愛因斯坦逝世前一年，他仍然充分肯定他少年證明畢氏定理之事對他一生重大的影響。

 

愛因斯坦的證明方法

至今未見到愛因斯坦12歲時對畢氏定理證明的詳細內容，但是按照上述材料，不難正確地推論出他的方法如下所示。

下圖,專注到三角形的相似性，從直角三角形的一個頂點向斜邊作垂線，設交點為D。兩直角三角形的相似，完全取決於它們的一個銳角，如果有一銳角相等，二者相似；否則，不相似。

 

 

 

圖中△ABC、△DBC、△DCA彼此是相似的，因為它們有一銳角是相等的。△ABC與△DBC因相似，二者的兩對應邊長之比相等，即

c/a=a/e ⇒ ec=a^2 （1）

對△ABC與△ACD，同理有

c/b=b/f ⇒ fc=b^2 （2）

（1）+（2），得到：

ec+fc = (e+f)c = c^2= a^2+b^2 （3）

上式就是畢達哥拉斯定理的內容。

由上可知：基於對直角三角形的斜邊作垂直，構成兩個與原直角三角形相似的直角三角形，再利用兩相似三角形的對應的邊長之比相等，即可導出畢氏定理。據作者的分析與研究，這種證明是現有約300種畢氏定理證法中最為簡單的：僅需作一條輔助線和僅需三步推理運算，即可推導出畢氏定理。因此，這種證法是最好的。

愛因斯坦的證明是創新的嗎？

仔細閱讀歐幾里得的《幾何原本》就會得知，在這本劃時代的經典著作中，對畢氏定理不僅提出了人們所熟悉的在直角三角形的三條邊上，向外分別作三個正方形的比較繁的證法，而且還有另外的基於相似三角形相似特性的證法，其內容與圖1所示的方法完全相同，僅是敘述較繁，而且把內容置於第Ⅵ卷命題8和命題31之中，並表達為：“在直角三角形中，對直角的邊上所作圖形（的面積）等於夾直角邊上所作與前圖形相似且有相似位置的兩圖形（的面積）的和。”

 

 

愛因斯坦知道《幾何原本》中上述證法嗎？他12歲時，不會知道。因為對於一個12歲的小孩，通常是不會去查閱2000多年前的經典文獻。在愛因斯坦成人，尤其是成名之後，他有可能會閱讀《幾何原本》，也有可能會讀到《幾何原本》中關於畢氏定理的基於相似三角形特性的證法。因此，與愛因斯坦深談過的Moszkowski寫他'證明了這一定理'，愛因斯坦的女婿Reiser寫他'獨立地成功證明了歐幾里得幾何的關鍵定理'，愛因斯坦少年時期的教導者、有著良好的科學素養的Max Talmey根本就沒有突出愛因斯坦與畢氏理論的關係，以及愛因斯坦本人在'證明了'這條定理的證明了上面打上引號，所有這些說法都是可以理解了！至於愛因斯坦的妹妹Maja說她哥哥“發現證明畢達哥拉斯定理的一個嶄新的方法”之不確切，只能歸因於她缺乏科學背景的原因。 《愛因斯坦全集》編者認同Maja對此的附註，也只能歸因他們未曾對畢氏定理的種種證法作過深入的分析與研究。

結論

(1)愛因斯坦12歲時，在未學過平面幾何的情況下，曾基於三角形的相似特性，獨立地給出了畢氏定理的一個證法，而且這一證法是畢氏定理中最簡單和最好的證法。(2)愛因斯坦這一證法並不是創新的或嶄新的，因為在公元前的歐幾里得《幾何原本》中，已經有了這種證法。(3)愛因斯坦之所以在12歲時完成了常人無法達到的成果，是由於他天賦的好奇心、敏銳的理性思維、刻苦的鑽研精神以及啟蒙者對他諄諄教導的結果。(4)經典著作，如《幾何原本》等是無價的知識寶庫。對於研究者而言，深入鑽研經典著作是必不可忽缺的。